Kamis, 13 Maret 2014

ALJABAR BOOLEAN

Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.
Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah).
Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0.
Tapi dalam postingan kali ini tidak berbicara tentang aljabar atau rumus matematika tapi tentang bagaimana metode logika boolean ini kita pakai untuk mempermudah dalam pencarian sebuah artikel, journal, atau apa saja yang anda inginkan melalui mesin-mesin pencari. Dibawah ini tehnik yang dipakai dalam logika boolean.

Gerbang logika atau sering juga disebut gerbang logika boolean merupakan sebuah sistem pemrosesan dasar yang dapat memproses input-input yang berupa bilangan biner menjadi sebuah output yang berkondisi yang akhirnya digunakan untuk proses selanjutnya. 
 
Operator dan logika boolean pada google ada 7, yaitu:

Gerbang AND
  1. Gerbang AND
  2. Gerbang AND akan berlogika 1 atau keluarannya akan berlogika 1 apabila semua masukan / inputannya berlogika 1, namun apabila semua atau salah satu masukannya berlogika 0 maka outputnya akan berlogika 0.      Tabel Kebenaran 
      Input A     Input B     Output  
    000
    010
    100
    111
  3. Gerbang OR
    Gerbang OR akan berlogika 1 apabila salah satu atau semua inputan yang dimasukkan bernilai 1 dan apabila keluaran yang di inginkan berlogika 0 maka inputan yang dimasukkan harus bernilai 0 semua.
    Gambar Gerbang OR



           Tabel Kebenaran
      Input A    Input B    Output  
    000
    011
    101
    111


  4. Gerbang NOT
    Gerbang NOT berfungsi sebagai pembalik (Inverter), yang mana outputnya akan bernilai terbalik dengan inputannya.

    Gambar Gerbang NOT
          Tabel Kebenaran
        Input          Output     
    01
    10




  5. Gerbang NAND
    Gerbang NAND akan bernilai / outputnya akan berlogika 0 apabila semua inputannya bernilai 1 dan outpunya akan berlogika 1 apabila semua atau salah satu inputannya bernilai 0.
    Gambar Gerbang NAND

                TABEL KEBENARAN
       Input A      Input B     Output  
    001
    011
    101
    110

  6. Gerbang NOR 
    Gerbang NOR merupakan gerbang logika yang outputnya akan berlogika 1 apabila semua inputannya bernilai 0, dan outpunya akan berlogika 0 apabila semua atau salah satu inputannya inputannya berlogika 1.

    Gambar Gerbang NOR
            Tabel Kebenaran
      Input A     Input B     Output Y   
    001
    010
    100
    110

  7. Gerbang XOR 
    Gerbang XOR merupakan kepanjangan dari Exclusive OR yang mana keluarannya akan berlogika 1 apabila inputannya berbeda, namun apabila semua inputanya sama maka akan memberikan keluarannya 0.

  8.           Tabel Kebenaran
    Gambar Gerbang XOR
      Input A     Input B    Output X   
    000
    011
    101
    110




  9. Gerbang XNOR 
    Gerbang XOR merupakan kepanjangan dari Exclusive NOR yang mana keluarannya akan berlogika 1 apabila semua inputannya sama, namun apabila inputannya berbeda maka akan memberikan output berlogika 0.


    Gerbang XNOR

              Tabel Kebenaran
  10.   Input A     Input B    Output X   
    001
    010
    100
    111


       Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.
        Penamaan Aljabar Bolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal inggris, George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertangahan abad ke-19.
      Gerbang logika atau gerbang logik adalah suatu entitas dalam elektronika dan matematika boolean yang mengubah satu atau beberapa masukan logik menjadi sebuah sinyal keluaran logik. Gerbang logika terutama diimplementasikan secara elektronis menggunakan dioda atau transistor akan tetapi dapat pula dibangun menggunakan susunan komponen-komponen yang memanfaatkan sifat-sifat elektronika (relay), cairan, optik dan bahkan mekanika.


Operator Logika
      Operator logika merupakan operator yang digunakan untuk mengekspresikan satu atau lebih data (ekspresi)logika (boolean)yang menghasilkan data logika baru.tabel operator logika dengan hirarki dari atas ke bawah adalah sebagai berikut:


- or else
Sama dengan operator or else,operator or else juga disebut dengan ”evaluasi sirkuit pendek”.hasil dari operasi or else akan bernilai “salah” jika semua ekspresinya juga bernilai “salah” gambaran ekspresi dan hasilnya seperti tabel berikut.




- and
Hasil dari proses pemakaian operator and pada suatu ekspresi adalah jika kedua ekspresi atau lebih bernilai benar (true) maka haslnya akan benar (true). Gambaran ekspresi dan hasilnya seperti terlihat pada tabel berikut ini :

- or
Hasil dari proses pemakaian operator or pada suatu ekspresi adalah jika salah atu ekspresi benar maka hasilnya akan benar. Gambaran ekspresi dan hasilnya seperti pada tabel berikut :




KARNAUGH MAP

Karnaugh map (disingkat K-Map) adalah suatu metode untuk menjelaskan beberapa hal tentang penghitung aljabar boolean, metode ini telah ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953.

Karnaugh map ini sering digunakan untuk perhitungan yang menghitung sistem pola pikir manusia dengan hal-hal yang menguntungkan (sistem pemetaan peluang).

Seperti gambar dibawah ini adalah sistem pemetaan pada bilang aljabar boolean :





gambar 1 sistem pemetaan pada karnaugh map 


pada gambar pemetaan diatas, variabel dari aljabar boolean ditransfer berdasarkan variabelnya masing-masing, dimana terjadi sistem perubahan pada beberapa kotak sehingga menghasilkan sebuah rumus 2n dengan n adalah banyaknya kotak (1,2,3,4,...).

Dibawah sini ada beberapa sistem penghitungan aljabar boolean dengan menggunakan karnaugh map diantaranya :

gambar 2 (0); K = 0


gambar 3 (1,2,3,4); K = 1 


gambar 4 (1,4); K = AB′ + AB

gambar 5 (1); K = AB

gambar 6 (2,3,4); K = A + B


dari sistem penghitungan diatas dapat kita simpulkan bahwa sistem berdasarkan f(n) dengan n adalah nilai kolom pada tabel boolean dan pada gambar 1 menjelaskan bahwa seluruh jumlah adalah nol karena tidak ada nilai yang dapat dihitung, namun pada gambar 2 seluruh kolom terdapat nilai sehingga jumlah dari tabel tersebut adalah satu, namun jika pada gambar 3,4,5 dan 6 adalah penjumlahan pada bidang yang masing-masing memiliki nilai pada satu kolomnya, baik itu pada kolom A maupun kolom B.

Dalam aplikasi di kehidupan nyata karnaugh map digunakan untuk menghitung sebuah peluang yang akan didapat sebuah permasalahan, dan kebanyakan digunakan untuk menghitung untung ruginya sistem permainan saham.

Sistem Bilangan Komputer

Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan mengenai 4 Sistem Bilangan ini :


1. Desimal (Basis 10)

Desimal (Basis 10) adalah Sistem Bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction).

Untuk melihat nilai bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan :

Dalam gambar diatas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki Absolut Value dan Position Value. Absolut value adalah Nilai Mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

Dengan begitu maka bilangan desimal 8598 bisa diartikan sebagai berikut :

Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya : 183,75 yang dapat diartikan :

2. Biner (Basis 2)

Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. Bilangan Biner ini di populerkan oleh John Von Neumann. Contoh Bilangan Biner 1001, Ini dapat di artikan (Di konversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam sistem Bilangan Biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Biner 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut :


3. Oktal (Basis 8)


Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Contoh Oktal 1024, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :
Position Value dalam Sistem Bilangan Oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis), seperti pada tabel berikut ini :


Berarti, Bilangan Oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut :

4. Hexadesimal (Basis 16)

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15.
Contoh Hexadesimal F3D4, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam Sistem Bilangan Hexadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Hexadesimal F3DA perhitungannya adalah sebagai berikut :

Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya : 183,75 yang dapat diartikan :

2. Biner (Basis 2)

Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. Bilangan Biner ini di populerkan oleh John Von Neumann. Contoh Bilangan Biner 1001, Ini dapat di artikan (Di konversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam sistem Bilangan Biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Biner 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut :


3. Oktal (Basis 8)



Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Contoh Oktal 1024, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :
Position Value dalam Sistem Bilangan Oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis), seperti pada tabel berikut ini :


Berarti, Bilangan Oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut :
4.Sistem Bilangan Hexa

Bilangan Hexa adalah sistim bilangan yang berbasis 16, artinya sistim bilangan hexa mengenal angka 0 sampai dengan 15. Hal ini berbeda dengan bilangan desimal yang merupakan bilangan berbasis 10 dan menggunakan angka 0 sampai 9 untuk menandai nilai bilangan hexa dimulai dari 0 sampai 9 dan dilanjutkan A sampai F untuk menyatakan nilai bilangan 10 sampai 15 bilangan desimal berikutnya.
Sebagai contoh pembanding cara penulisan antara bilangan Desimal, Hexa dan Biner, kita perhatikan tabel berikut di bawah ini
Desimal Hexa Biner
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
Konversi Bilangan Hexa ke Desimal
Untuk mengkonversi bilangan hexa ke desimal dapat dilakukan dengan mudah, yaitu seperti yang kita lakukan pada cara konversi biner ke desimal. Setiap tingkatan harga bilangan oktal 0 sampai dengan F dikalikan dengan pengali dan dijumlahkan, maka akan didapatkan harga desimalnya.
Berikut merupakan contoh konversi bilangan hexa 309 ke desimal ternyata didapatkan hasil 777.
65536
4096
256
16
1
Pengali
164
163
162
161
160
Tingkatan




3
0
9
Bilangan












3x256 + 0x16 + 9x1





768 + 0 + 9 = 777
Konversi Bilangan Desimal ke Hexa
Dalam melaksanakan konversi dari Desimal ke Hexa kita dapat menggunakan daftar konversi berikut sebagai dasar konversi.
Desimal Hexa 164 163 162 161 160
1 1 65 536 4 096 256 16 1
2 2 131 072 8 192 512 32 2
3 3 196 608 12 288 768 48 3
4 4 262 144 16 384 1 024 64 4
5 5 327 680 20 480 1 280 80 5
6 6 393 216 24 576 1 536 96 6
7 7 458 752 28 672 1 792 112 7
8 8 524 288 32 768 2 048 128 8
9 9 589 824 36 864 2 304 144 9
10 A 655 360 40 960 2 560 160 10
11 B 720 896 45 056 2 816 176 11
12 C 786 432 49 152 3 072 192 12
13 D 851 968 53 248 3 328 208 13
14 E 917 504 57 344 3 584 224 14
15 F 983 040 61 440 3 840 240 15
Sebagai contoh kita akan mengkonversi bilangan desimal 1983 ke bilangan hexa,
1983 - 1792 sisa 191 (dari daftar 1792 adalah 7 hexa pada tingkat 162)
191 - 176 sisa 15 (dari daftar 176 adalah B hexa pada tingkat 161)
15 - 15 sisa 0 (dari daftar 15 adalah F hexa pada tingkat 160)
Maka hasil konversinya diperoleh 7 B F hexa.atau dapat ditulis 7BF(16)
Konversi Biner ke Hexa
Cara mengkonversi bilangan biner ke bilangan hexa dapat dilakukan dengan cara mengelompokan bilangan biner menjadi empat-empat digitnya, kemudian kita tuliskan nilai konversinya ke bilangan hexa dari empat digit kelompok bilangan biner tersebut maka kita sudah mendapatkan konversi biner ke hexa.
Perhatikan contoh dibawah ini, kita akan mengkonversi bilangan biner 1001 1011 1100 (2) ke bilangan hexa maka didapatkan hasil sebagai berikut :
1001 1011 1100 Biner (1001 1011 1100)2
9 B C Hexa (9BC)16
Demikian juga bila kita ingin mengkonversikan bilangan hexa ke bilangan biner, dapat dilakukan dengan cara memisahkan masing-masing bilangan hexa kemudian mengkonversikan bilangan oktal tersebut ke bilangan biner.
F 8 C Hexa (F8C)16
1111 1000 1100 Biner (1111 1000 1100)2

5. Hexadesimal (Basis 16)

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15.
Contoh Hexadesimal F3D4, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam Sistem Bilangan Hexadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis), seperti pada tabel berikut ini :